为了求1+2+22+23+24+-+22008的值.可令S=1+2+22+23+24+-+22008.然后扩大两倍变成:2S=2+22+23+24+-+22008+22009.再让两式相减.因此有2S-S=22009-1.所以:S=22009-1.即1+2+22+23+24+-+22008=22009-1．仿照上面的计算过程计算下列式子:(1)计算1+5+52+53+54+-+52011的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．为了求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸的值，可令S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸，然后扩大两倍变成：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹，再让两式相减，因此有2S-S=2²⁰⁰⁹-1，所以：S=2²⁰⁰⁹-1，即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸=2²⁰⁰⁹-1．
仿照上面的计算过程计算下列式子：
（1）计算1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹¹的值．
（2）计算1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$的值．
（3）计算1+a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ的值（a≠1）．（用字母表示）

分析（1）设S=1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹¹，求出5S，用5S-S，求出4S的值，进而求出S的值；
（2）设S=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$，则$\frac{1}{3}$S的值，同理可得结果；
（3）设S=1+a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ，求aS的值，用aS-S，求出（a-1）S的值，进而求出S的值．

解答解：（1）设S=1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹¹，则5S=1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹¹+5²⁰¹²，
∴5S-S=（5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹¹+5²⁰¹²）-（1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹¹），
∴4S=5²⁰¹²-1，
∴S=$\frac{{5}^{2012}-1}{4}$，
即1+5+5²+5³+5⁴+…+5²⁰¹¹=$\frac{{5}^{2012}-1}{4}$；
（2）设S=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$，则$\frac{1}{3}$S=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$+$\frac{1}{{3}^{11}}$，
∴S-$\frac{1}{3}$S=（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$+$\frac{1}{{3}^{11}}$），
$\frac{2}{3}$S=1-$\frac{1}{{3}^{11}}$，
S=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{10}}$，
则1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{10}}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2×{3}^{10}}$；
（3）设S=1+a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ，则aS=a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ+aⁿ⁺¹，
∴aS-S=（a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ+aⁿ⁺¹）-（1+a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ）=aⁿ⁺¹-1，
∴S=$\frac{{a}^{n+1}-1}{a-1}$．

点评本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．

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