Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE。
（1）求证：BD=DE。
（2）若AC⊥BD，AD=3，S_ABCD=16，求AB的长。

Answer 1

（1）见解析（2）

解：（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD，∴四边形ACED是平行四边形。
∴AC=DE。
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD。
∴BD=DE。
（2）过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=3，AC∥DE。
∵AC⊥BD，∴BD⊥DE。
∵BD=DE，
∴。
∴BD=。∴BE=BD=8。∴DF=BF=EF=BE=4。∴CF=EF－CE=1。
∴。

（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四边形ACED是平行四边形，即可证得AC=DE，又由等腰三角形的性质，可得AC=BD，即可证得结论。
（2）过点D作DF⊥BC于点F，可证得△BDE是等腰直角三角形，由S_ABCD=16，可求得BD的长，从而求得答案。