Question

13．把一张矩形纸片ABC的按如图方式折叠，使顶点B落在边AD上（记为点B′），点A落在点A′处，折痕分别与边AD、BC交于点E、F．

（1）试在图中连接BE，求证：四边形BFB′E是菱形；
（2）若AB=8，BC=16，求线段BF长能取到的整数．

Answer 1

分析 （1）连接BB′，由折叠知点B、B′关于EF对称，得出EF是线段BB′的垂直平分线，证出BE=B′E，BF=B′F，由矩形的性质得出∠B′EF=∠BFE，由折叠得：∠B′FE=∠BFE，得出∠B′EF=∠B′FE，证出B′E=B′F，BE=B′E=B′F=BF，即可得出结论；
（2）当点E与点A重合时，四边形ABFB′是正方形，此时BF最小，由正方形的性质得出BF=AB=8，得出BF最小为8；
当点B与点D重合时，BF最大，设BF=x，则CF=16-x，DF=BF=x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF=10，得出8≤BF≤10，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接BB′，如图1所示：
由折叠知点B、B′关于EF对称，
∴EF是线段BB′的垂直平分线，
∴BE=B′E，BF=B′F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
由折叠得：∠B′FE=∠BFE，
∴∠B′EF=∠B′FE，
∴B′E=B′F，
∴BE=B′E=B′F=BF，
∴四边形BFB′E是菱形；

（2）解：如图2所示：当点E与点A重合时，四边形ABFB′是正方形，此时BF最小，
∵四边形ABFB′是正方形，
∴BF=AB=8，即BF最小为8；
如图2所示：当点B与点D重合时，BF最大，
设BF=x，则CF=16-x，DF=BF=x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF²+CD²=DF²，
∴（16-x）²+8²=x²，
解得：x=10，即BF=10，
∴8≤BF≤10，
∴线段BF长能取到的整数值为8，9，10．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、菱形的判定、等腰三角形的判定以及正方形的性质等知识，证出四边形BFB′E是菱形是解题关键．