Question

已知如图：平行四边形ABCD中，各角的平分线相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

分析：根据平行四边形性质得出AB∥CD，AD∥BC，根据平行线性质得出∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，根据角平分线定义求出∠HBC+∠HCB=

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（∠ABC+∠BCD）=90°，∠DCH+∠CDG=90°，∠ADF+∠DAF=90°，根据三角形内角和定理求出∠H=180°-（∠HBC+∠HCB）=90°，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=90°，∠HGF=∠DGC=180°-（∠CDG+∠DCG）=90°，根据矩形判定推出即可．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵BH、CH、DF、AF分别平分∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB，
∴∠HBC=∠ABE=

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∠ABC，∠BCH=∠DCH=

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∠BCD，∠CDG=∠ADG=

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∠ADC，∠DAE=∠BAE=

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∠DAB，
∴∠HBC+∠HCB=

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（∠ABC+∠BCD）=90°，
同理∠DCH+∠CDG=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠H=180°-（∠HBC+∠HCB）=90°，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=90°，∠HGF=∠DGC=180°-（∠CDG+∠DCG）=90°，
∴四边形EFGH是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．