Question

【题目】如图，矩形的周长是20，且，是边上的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠得到，连接，，当是直角三角形时，的长是______．

Answer 1

【答案】或3

【解析】

分两种情况进行讨论：当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．

∵矩形ABCD的周长是20，

∴AD+CD=10

∵AD:CD=3:2，

∴AD=6，CD=4，

如图所示，当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形，

由折叠可得，∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，

∴∠CFP=180°，即点P，F，C在一条直线上，

在Rt△CDE和Rt△CFE中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），

∴CF=CD=4，

设AP=FP=x，则BP=4-x，CP=x+4，

在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4-x）2+62=（x+4）2，

解得x=，即AP=；

如图所示，当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形，

过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°，

又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，

∴∠FEQ=∠ECD，

∴△FEQ∽△ECD，

∴，即，

解得FQ=，QE=，

∴AQ=HF=，AH=，

设AP=FP=x，则HP=-x，

∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即（-x）2+（）2=x2，

解得x=1，即AP=1．

综上所述，AP的长为1或．