Question

【题目】对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k= ，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

（2）解：因为st都是“相异数”，
所以 ，

因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，且xy都是正整数，
所以 或 或 或 或 或
因为s是“相异数”，所以 ， ，
因为t是“相异数”，所以 ， ，
所以 或 或 ，
所以 ， ，
所以 或 或
故 的最大值为
【解析】（1）根据题意得出243与617这两个相异数任意两个数位上的数字对调后，得到的三个新三位数，然后再分别求出它们的和与111的商即可；
（2）根据题意得出S与t这两个相异数任意两个数位上的数字对调后，得到的三个新三位数，然后再分别求出它们的和与111的商分别为 ：F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5 ，F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6，然后根据F（S）+F（t）=18得出
x+5+y+6=18即x+y=7；根据x,y都是1到9中的自然数，从而得出x,y的所有情况，又根据s是“相异数”，故 ， ，t是“相异数”，故 ， ，从而得出进而得出F(s)与F（t）的所有情况，从而求出其比值，通过比较得出答案。