Question

20．如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作CD∥OF交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若DH=6-3$\sqrt{3}$，求EF的长和半径OA的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，证明△AOB是等边三角形，然后证明CD∥OF，即可证得OC⊥CD，从而证得CD是切线；
（2）证明△DBC≌△EAO可得BD=AE=BE，然后根据△AEF∽△ADH，利用全等三角形的性质求解．

解答 证明：（1）连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD∥OC，AB=OC，
又∵OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠FAD=15°，
∴∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠BOF=30°，
∵CD∥OF，
∵AD∥OC，
∴OC⊥CD，
∴CD是半圆O的切线；

（2）∵BC∥OA，
∴∠DBC=∠EAO=60°，
∵CD⊥AD，OF⊥AB，
∴∠BDC=∠AEO=90°，
∵BC=OA，
∴△DBC≌△EAO（AAS），
∴BD=AE=BE，
∵EF∥DH，
∴△AEF∽△ADH，
∴$\frac{EF}{DH}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$，
∵DH=6$-3\sqrt{3}$，∴EF=2$-\sqrt{3}$，
∵OF=OA，
∴OE=OA-（2$-\sqrt{3}$），
∵∠AOE=30°，
∴$\frac{OE}{OA}=cos{30^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得：OA=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，证明△AEF∽△ADH是关键．