Question

12．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c过点A（0，-6）、B（-2，0），与x轴的另一交点为点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）将直线AC向下平移m个单位，使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，求m的值及点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由直线向下平移m个单位得：y=x-6-m，由直线与抛物线有且只有一个公共点M可知：由解析式列方程组根据△=0，可得结论；
（3）分三种情况：
①当∠PAC=90°时，如图1，由△EAC是等腰直角三角形，可得E（-6，0），直线AP与抛物线的交点就是P，列方程组可得P的坐标；
②当∠ACP=90°时，如图2，由PE=EC，列式：$\frac{1}{2}$x²-2x-6=-x-6，解出即可；
③当APC=90°时，如图3，画圆，根据直径所对的圆周角是直角可知，有两个点符合，设出点P的坐标，然后表示出AC²、PA²、PC²的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标．

解答 解：（1）把点A（0，-6）、B（-2，0）代入抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6；
（2）y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴C（6，0）；
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=x-6，
直线AC向下平移m个单位后的直线关系式为：y=x-6-m，
∵平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}\\{y=x-6-m}\end{array}\right.$，
得：$\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+m$=0，
△=（-3）2-4×$\frac{1}{2}$m=0，
m=$\frac{9}{2}$，
代入得：y=x-6-m=x-$\frac{21}{2}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}\\{y=x-\frac{21}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴M（3，-$\frac{15}{2}$）；
（3）分三种情况：
①当∠PAC=90°时，如图1，
∵OA=OC=6，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，
∴△EAC是等腰直角三角形，
∴AE=AC，
∴OE=OC=6，
∴E（-6，0），
设AE：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{-6k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为：y=-x-6，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}\end{array}\right.$，
$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x-6=-x-6，
解得：x₁=0（舍），x₂=2，
∴P（2，-8），
②当∠ACP=90°时，如图2，
∠PCB=90°-45°=45°，
过P作PE⊥BC于E，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=EC，
设P（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-6），
∴PE=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，EC=-x-6，
∴$\frac{1}{2}$x²-2x-6=-x-6，
解得：x₁=6，x₂=-4，
∵P在第二象限，
∴x=6不符合题意，舍去，x=-4，
∴P（-4，10），
③以AC为直径画圆，交抛物线于两点P₁、P₂，如图3，
则∠AP₁C=∠AP₂C=90°，
∵${P}_{1}{A}^{2}$=${x}^{2}+（\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6+6）^{2}$，
${P}_{1}{C}^{2}$=$（6-x）^{2}+（\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6）^{2}$，
AC²=6²+6²=72，
由勾股定理得：${x}^{2}+（\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6+6）^{2}$+$（6-x）^{2}+（\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6）^{2}$=72，
化简得：x³-8x²+8x+24=0，
x³-2x²-4x-（6x²-12x-24）=0，
x（x²-2x-4）-6（x²-2x-4）=0，
（x-6）（x²-2x-4）=0，
解得：x₁=6（舍），x₂=1+$\sqrt{5}$，x₃=1-$\sqrt{5}$，
∴P（1+$\sqrt{5}$，-5-$\sqrt{5}$）或（1-$\sqrt{5}$，-5+$\sqrt{5}$），
综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为：（2，-8），（-4，10），（1+$\sqrt{5}$，-5-$\sqrt{5}$），（1-$\sqrt{5}$，-5+$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；要注意的是（3）题一定要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解．