Question

如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n＝-16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点.

（1）求A点的坐标（3分）；
（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE（4分）
（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：?OF+AE-EF的值不变；?OF+AE+EF的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值（5分）.

Answer 1

（1）（4，4）；（2）证明见解析；（3）OF+AE-EF值不变，且OF+AE-EF=0.

试题分析：（1）可将（m-4）²+n²-8n＝-16，通过移项、因式分解变形为：（m-4）²+（n-4）²=0.结合图象可知m、n都大于0，由此可得m=n=4.
（2）因为OF+BE＝AB，所以OF＝AE，由（1）易得四边形COAB是正方形；所以由SAS得△ACE≌△OCF，从而可证CF＝CE.
（3）因为AC=OC，可想到绕点C将△ACE顺时针旋转90^0,到△OCH位置，如图，可证△HCF≌△ECF得HF=EF，而HF=AE+OF，所以OF+AE-EF=0.
试题解析：
解：（1）∵（m-4）²+n²-8n＝-16，
∴（m-4）²+（n-4）²=0.
∴m＝4，n＝4.
证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），
∴AB＝AC＝OC＝OB，
∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，
∴四边形COAB是正方形
∴∠A＝90°
∵OF+BE＝AB＝BE+AE
∴AE＝OF，
∴△COF≌△CAE
∴CF＝CE.
（3）OF+AE-EF值不变，且OF+AE-EF=0.如图，
证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE，
∵CO=CA ∠COH=∠CAE
∴△ACE≌△OCH
∴∠1＝∠2
CH＝CE，AE=OH
又∵∠EOF＝45°
∴∠HCF＝45°
∴△HCF≌△ECF
∴HF＝EF
∴OF+AE=OF+OH=HF=EF
即OF+AE-EF=0.