Question

17．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
（3）观察图2请写出（m+n）²，（m-n）²，mn三个代数式之间的等量关系并解决下列问题x+y=6，xy=3，求（x-y）²的值．

Answer 1

分析 （1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m-n）²=（m+n）²-4mn，然后x+y=6，xy=3代入计算即可．

解答 解：
（1）由图形可知阴影部分的正方形的边长为（m-n）．
（2）根据正方形的面积公式求图中阴影部分的面积为（m-n）²．
用大正方形的面积减去四个小长方形的面积（m+n）²-4mn．
（3）由图形可知
大正方形的面积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积．
又∵（m+n）²正好表示大正方形的面积，（m-n）²正好表示阴影部分小正方形的面积，mn正好表示一个小长方形的面积．
∴（m+n）²-4mn=（m-n）²
将m+n换为x+y，将m-n换为x-y，将mn换为xy，得（x+y）²-4xy=（x-y）²．
将x+y=6，xy=3代入上式得（x-y）²=24．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．