Question

15．加图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，求证：
（1）DE=DF；
（2）四边形DECF是正方形．

Answer 1

分析 （1）首先连接CD，由在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，可得CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥AB，又由DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，即可证得结论；
（2）易证得四边形DECF是矩形，又由DE=DF，即可证得四边形DECF是正方形．

解答 证明：（1）连接CD，
∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，CD⊥AB，
∵DE⊥AC，DF⊥CB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=DF；

（2）∵DE⊥AC，DF⊥CB，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∵DE=DF，
∴四边形DECF是正方形．

点评 此题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质以及矩形的判定．注意准确作出辅助线是解此题的关键．