Question

2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=2∠BCD=2α．

（1）求证：BD²=AD•BC；
（2）若点M、N分别在AD、CD上，连BN，且∠BNC=∠BMD．
①若α=30°（如图2），求证：CN=$\sqrt{3}$MD；
②若α=45°，以BM为边作正方形BMNE，NE交BC于点F（如图3）．当AB=3，MD=2时，直接写出△FEC的面积是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换得到∠ABD=，∠DBC，再由已知角的关系得到两对角相等，进而确定出三角形ABD与三角形DBC相似，由相似得比例，即可得证；
（2）①连接BD，如图2所示，根据题意确定出三角形BMD与三角形BNC相似，由相似得比例，设AB=AD=x，则BD=CD=$\sqrt{3}$x，表示出BC，代入比例式即可得证；
②连接BD，如图3所示，由AD与MD求出AM的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出BC与CD，过E作EH⊥BC于H，利用AAS得出三角形BAM与三角形HBE全等，求出EH与BH的长，由三角形BHE与三角形EHF相似，得比例求出CF的长，再由EH的长，利用三角形面积公式求出三角形FEC的面积即可．

解答 解：（1）∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ABC=2∠BCD，
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=∠DCB，
∴△ABD∽△DBC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，即BD²=AD•BC；
（2）①连接BD，BN，如图2所示，

由题意得：∠ADB=30°，∠BCN=30°，
∵∠BNC=∠BMD，
∴△BMD∽△BNC，
∴$\frac{CN}{MD}$=$\frac{BC}{BD}$，
设AB=AD=x，则BD=CD=$\sqrt{3}$x，
∴BC=3x，
∴$\frac{CN}{MD}$=$\frac{BC}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∴CN=$\sqrt{3}$MD；
②连接BD，如图3所示，

∵AB=AD=3，MD=2，
∴AM=1，BD=3$\sqrt{2}$，
∴CD=3$\sqrt{2}$，BC=6，
过E作EH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵四边形MNEB为正方形，
∴BM=BH，∠MBE=90°，
∴∠ABC-∠MBC=∠MBE-∠MBC，即∠ABM=∠HBE，
在△BAM和△BHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BHE}\\{∠ABM=∠HBE}\\{BM=BE}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△BHE（AAS），
∴EH=1，BH=3，
∵∠BHE=∠EHF=90°，∠EBH=∠HEF，
∴△BHE∽△EHF，
∴$\frac{BH}{EH}$=$\frac{EH}{HF}$，
∴HF=$\frac{1}{3}$，
∴CF=3-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$，
则S_△FEC=$\frac{1}{2}$×CF×EH=$\frac{4}{3}$．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．