Question

（1）求证：

1

a(a+1)

=

1

a

-

1

a+1

；
（2）利用（1）的结论求下面式子的值：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+99)(x+100)

．

Answer 1

分析：（1）把等式的右边计算后，得到左边的式子，结论得证；
（2）根据（1）的结论把运算式展开，只剩下第一项和最后一项，再通分计算即可．

解答：（1）证明：∵

1

a

-

1

a+1

，
=

a+1

a(a+1)

-

a

a(a+1)

，
=

1

a(a+1)

，
左边=右边，
∴

1

a(a+1)

=

1

a

-

1

a+1

；

（2）解：原式=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+…+

1

x+99

-

1

x+100

，
=

1

x

-

1

x+100

，
=

x+100-x

x(x+100)

，
=

100

x(x+100)

．

点评：本题特点通过分式的加减运算得到另一分式，从而使结论得证，再根据结论的规律进行解答．