Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．

Answer 1

解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．
∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴，解得b=，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+x+2．

（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴PF=OC=2，
∴将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．
由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．
将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位，得到直线y=x+4，
联立，
解得x₁=1，x₂=2，∴m₁=1，m₂=2；
将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位，得到直线y=x，
联立，
解得x₃=，x₄=（在y轴左侧，不合题意，舍去），∴m₃=．
∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．

（3）设点P的横坐标为m，则P（m，-m²+m+2），F（m，m+2）．
如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，
∴FM=y_F-EM=m，∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．
过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．
∵∠PCF=45°，∴PN=CN，
而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．
∵PF=y_P-y_F=（-m²+m+2）-（m+2）=-m²+3m，
∴-m²+3m=m，整理得：m²-m=0，
解得m=0（舍去）或m=，
∴P（，）；
同理求得，另一点为P（，）．
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．
分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；
（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．