Question

19．正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG边长为2，正方形EIMN边长为4，以后的正方形边长按此规律扩大，其中点B、C、E、I…在同一条直线上，连接BF交CG于点K，连接CM交EN于点H，记△BCK的面积为S₁，△CEH的面积为S₂，…，依此规律，S_n=$\frac{{2}^{2n-2}}{3}$．

Answer 1

分析 首先证明△BCK∽△CEH，得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$）²，求出S₁、S₂、S₃、…探究规律后即可解决问题．

解答 解：如图，∵CK∥EF，
∴$\frac{CK}{EF}$=$\frac{BC}{BE}$，
∴$\frac{CK}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∴CK=$\frac{2}{3}$，
同理可得：EH=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{CK}{HE}$，
∵∠BCK=∠CEH=90°，
∴△BCK∽△CEH，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$）²，
∵S₁=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴S₂=$\frac{1}{3}$•4，
S₃=$\frac{1}{3}$•（4）²，
…
S_n=$\frac{1}{3}$•（4）^n-1=$\frac{{2}^{2n-2}}{3}$．
故答案为$\frac{{2}^{2n-2}}{3}$．

点评 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，记住相似三角形的面积比定义相似比的平方，属于中考常考题型．