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    如图，在中，是BC边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于F，且，连接CF．
    （1）求证：D是的中点；
    （2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论．
    （1）证明：，
            ． 
         ∵ E是的中点，
         ．
      又，． 
        ． 
        ，
        ．
        ，即D是的中点．
    （2）解：四边形是矩形，
      证明：，，
         ∴四边形是平行四边形． 
         ，D是的中点，
         ．即． 
         ∴四边形是矩形．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    26、在△ABC中，AB=AC．
    （1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；

    （2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

    （3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
    等底同高
    等底同高
    ．
    （2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形，
    △ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
    △ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
    ．
    （3）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2010•市南区模拟）等边三角形是大家熟悉的特殊三角形，除了以前我们所知道的它的一些性质外，它还有很多其它的性质，我们来研究下面的问题：

    如图1，点P是等边△ABC的中心，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，易证：BE+CF+AD=EC+AF+BD
    问题提出：如图2，若点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？
    为了解决这个问题，现给予证明过程：
    证明：连接PA、PB、PC，在Rt△PBE和Rt△PEC中，PB2=PE2+BE2，PC2=PE2+CE2，∴PB2-PC2=BE2-CE2
    同理可证：PC2-PA2=CF2-AF2，PA2-PB2=AD2-BD2．
    将上述三式相加得：BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0，即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0
    ∵△ABC是等边三角形，设边长为a．
    ∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a；
    ∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0；
    ∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0；
    ∴BE+CF+AD=EC+AF+BD．
    问题拓展：如图3，若点P是等边△ABC的边上任意一点，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？若成立，请直接写出结论，不用证明；若不成立，请说明理由．
    问题解决：
    如图4，若点P是等边△ABC外任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
    （1）若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；
    （2）如图2：连接PE交BC边于点F，连接DE，设AE长为x，CF长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）将点B沿直线EF翻折，使点B落在平面上的B′处，当EF=
    53
    时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    在△ABC中，AB=AC．
    （1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；

    （2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

    （3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）

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