Question

已知，△ABC是等边三角形，点D为直线BC上一点（端点B、C除外），以AD为边作等边△ADF，连接CF．
（1）如图1，点D在点C右边，①求证：BD=CF；②求∠FCD的度数；
（2）如图2，点D在点B左边，点F在直线BC下方，请先补全图形，并直接给出∠AFC与∠DAC之间满足的数量关系式为

∠AFC+∠DAC=120°

．

Answer 1

分析：（1）①根据等边三角形的性质得AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，则∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，根据全等三角形的判定方法得到△ABD≌△ACF，
则BF=CF；②由△ABD≌△ACF得到∠ACF=∠ABD=60°，然后利用∠FCD=180°-（∠ACB+∠ACF）进行计算；
（2）根据题意画图，与①一样可证明△ABD≌△ACF，则∠ADB=∠AFC，∠DAB=∠FCA，于是∠AFC+∠DAC=∠ADB+∠DAB+∠BAC=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°．

解答：（1）①证明：∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF，
∴BF=CF；
②解：∵△ABD≌△ACF，
∴∠ACF=∠ABD=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠FCD=180°-（∠ACB+∠ACF）=60°；
（2）解：如图；  
∵△ABC和△ADF都是等边三角，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC-∠BAF=∠DAF+∠BAF，
即∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，∠DAB=∠FCA，
∴∠AFC+∠DAC=∠ADB+∠DAB+∠BAC=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°．
故答案为∠AFC+∠DAC=120°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等边三角形的性质．