Question

(1)如图，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，AD⊥BC于D，将△ABC沿AD剪开，并分别以AB、AC为轴翻转，点E、F分别是点D的对应点，得到△ABE和△ACF(与△ABC在同一平面内)．延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

(2)如果(1)中AB≠AC，其他不变，如图．那么四边形AEGF是否是正方形？请说明理由．

(3)在(2)中，若BD＝2，DC＝3，求AD的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明： 　　∵AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD 　　∴△ADB≌△ADC 　　∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝22.5° 　　∵点E与点D关于AB对称，∴△AEB≌△ADB 　　∴AE＝AD，∠AEB＝∠ADB＝90°，∠EAB＝∠DAB 　　∴∠EAD＝2∠DAB＝45° 　　同理：AF＝AD，∠AFC＝90°，∠DAF＝45° 　　∴AE＝AF∠EAF＝∠EAD＋∠DAF＝90° 　　∴四边形AEGF是正方形　5分 　　(2)四边形AEGF是正方形　6分 　　由(1)可知：∠EAB＋∠FAC＝∠BAC＝45° 　　∴∠EAF＝90° 　　∵∠AEB＝∠AFC＝90°AE＝AF 　　∴四边形AEGF是正方形　8分 　　(3)设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x　∴BG＝x－2，CG＝x－3 　　∴(x－2)2＋(x－3)2＝52　解得x1＝6，x2＝－1(舍) 　　∴AD＝x＝6　10分