[题目]如图.已知抛物线与轴交于.两点(点在点的左侧).与轴交于点.抛物线的对称轴与轴交于点．(1)请直接写出.两点的坐标及的度数,(2)如图1.若点为抛物线对称轴上的点.且.求点的坐标,(3)如图.若点.分别为线段和上的动点.且.过.分别作轴的垂线.垂足分别为.．在.两点的运动过程中.试探究:①是否是一个定值?如果是.请求出这个定值.如果不是.请说明理由,②若将沿着� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．

(1)请直接写出、两点的坐标及的度数；

(2)如图1，若点为抛物线对称轴上的点，且，求点的坐标；

(3)如图，若点、分别为线段和上的动点，且，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．在、两点的运动过程中，试探究：

①是否是一个定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由；

②若将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，当点从点运动到点的过程中，求点和点的运动轨迹的长度之和．

【答案】（1）A（-3，0），B(1，0)，∠ACB=90°；（2）P（-1，-2）或P（-1，2）；（3）①是一个定值，这个定值为1；②A′，B′的运动轨迹的长度之和为．

【解析】

（1）先根据抛物线的解析式可求出点A，B，C的坐标，再分别求出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理可以得出△ABC的形状，从而得出结果；

（2）先根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴，从而可得出点D的坐标，所以有DA=DC=DB=2，以D为圆心，2为半径作出⊙D，再得出∠CPB=∠CDB，可知点P在⊙D上，进而可得出点P的坐标；

（3）①作DP⊥AC，DQ⊥BC，先证明△DPE∽△DQF，得出；再证明△EMD∽△DNF，得出，从而有DN=ME，在Rt△AME中，有AM=ME，最后可得出AM=DN，进而可得出结论；②先证明△A′DF≌△BDF，得出A′与B′重合，再根据点A′在以D为圆心，2为半径的圆上运动，再求出点F从点B到点C的过程中，点A′运动的弧长所对应的圆心角的度数，即可得出结论．

解：（1）中，令x=0得，y=；

令y=0得，，解得x1=-3，x2=1，

∴A（-3，0），B(1，0)，C（0，），

∴OA=3，OB=1，OC=，

∴AB=4，AC=2，BC=2，

∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°；

（2）由得抛物线的对称轴为x=-1，

∴点D（-1,0），∴DA=DC=DB=2，

∴以D为圆心，2为半径作出⊙D，如图，

∵tan∠OCB=，∴∠OCB=30°，

∴∠BPC=∠OCB=30°，∠OBC=60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠CDB=60°，

∴∠CPB=∠CDB，

∴点P在⊙D上，PD=BD=2，分以下两种情况：

若点P在x轴下方，点P的坐标为（-1，-2）；

若点P在x轴上方，点P的坐标为（-1，2）．

综上所述，点P的坐标（-1，-2）或（-1，2）；

（3）①是一个定值，理由如下：

作DP⊥AC，DQ⊥BC，如图，则DP∥BC，DQ∥AC，

∵D为AB的中点，

∴DP=BC=1，DQ=AC=．

∵∠EDF=∠PDQ=90°，∴∠EDP=∠FDQ，

∴△DPE∽△DQF，∴．

又∵∠EDM+∠FDN=90°，∠EDM+∠DEM=90°，∴∠FDN=∠DEM，

∵∠EMD=∠DNF=90°，∴△EMD∽△DNF，∴，∴DN=ME，

∵在Rt△ABC中，AB=2AC，∴∠EAM=30°，∴AM=ME=DN，

∴=1，

故是一个定值，这个定值为1．

②如图，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，

∴DA′=DA，∠EDA′=∠EDA，

∴∠A′DF=∠EDF-∠EDA′=90°-∠EDA=∠FDB，

又AD=BD=A′D，DF=DF，

∴△A′DF≌△BDF（SAS），

∴将△BDF沿着DF翻折至△B′DF，则A′与B′重合，

由于A′运动过程中有DA′=DA=2，

∴A′在以D为圆心，2为半径的圆上运动．

当F在B点时，A′与B重合，

当F在C点时，如图所示，

此时△FDB为等边三角形，∴∠FDB=60°，

∴∠ADE=180°-∠EDF-∠FDB=30°，

∴∠A′DE=∠ADE=30°，∴∠A′DB=120°，

∴A′的运动轨迹长度为：×2π×2=，

∴A′，B′的运动轨迹长度之和为．

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