Question

【题目】课题学习：矩形折纸中的数学实践操作：折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形所在平面内，B'C和AD相交于点E，如图1所示．

探素发现：

（1）在图1中，①请猜想并证明AE和EC的数量关系；②连接B'D，请猜想并证明B'D和AC的位置关系；

（2）第1小组的同学发现，图1中，将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形．若沿对称轴EF再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形，展开后如图2所示，请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比；

（3）若将图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图3所示，（1）中的结论①和结论②是否仍然成立，请直接写出你的判断．

拓展应用：

（4）在图3中，若∠B＝30°，AB＝2，请您直接写出：当BC的长度为多少时，△AB'D恰好为直角三角形．

Answer 1

【答案】探素发现：（1）①EA＝EC，见解析；②DB′∥AC那就继续；（2）AB：AD＝1：1，AD：AB＝；（3）仍然有EA＝EC，DB′∥AC；拓展应用：（4）BC的长为或或2或.

【解析】

（1）①想办法证明∠EAC＝∠ECA即可判断AE＝EC．

②想办法证明∠ADB′＝∠DAC即可证明．

（2）①当AB：AD＝1：1时，符合题意．②当AD：AB＝时，也符合题意，

（3）结论仍然成立，证明方法类似（1）．

（4）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题.

解：（1）如图1中，

①结论：EA＝EC．

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∴EA＝EC．

②连接DB′．结论：DB′∥AC．

∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AD＝BC＝CB′，

∴ED＝EB′，

∴∠EB′D＝∠EDB′，

∵∠AEC＝∠DEB′，

∴∠EB′D＝∠EAC，

∴DB′∥AC．

（2）如图2中，

①当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，

∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，

∴△AEB′≌△AEF（AAS），

∴AB′＝AF，

此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．

②当AD：AB＝时，也符合题意，

∵此时∠DAC＝30°，

∴AC＝2CD，

∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，

∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．

（3）如图3中，当四边形ABCD是平行四边形时，仍然有EA＝EC，DB′∥AC．

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAC＝∠ACB，

由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∴EA＝EC．

∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AD＝BC＝CB′，

∴ED＝EB′，

∴∠EB′D＝∠EDB′，

∵∠AEC＝∠DEB′，

∴∠EB′D＝∠EAC，

∴DB′∥AC．

（4）①如图3﹣1中，当∠AB′C＝90°时，易证∠BAC＝90°，

BC＝．

②如图3﹣2中，当∠ADB′＝90°时，易证∠ACB＝90°，BC＝ABcos30°＝．

③如图3﹣3中，当∠DAB′＝90°时，易证∠B＝∠ACB＝30°，

BC＝2ABcos30°＝2．

④如图3﹣4中，当∠DAB′＝90°时，易证：∠B＝∠CAB＝30°，

BC＝，

综上所述，满足条件的BC的长为或或2或.