Question

4．如图，P为正三角形ABC内任一点，PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，则$\frac{PD+PE+PF}{BD+CE+AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，根据S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，即：$\frac{1}{2}$a•PD+$\frac{1}{2}$a•PE+$\frac{1}{2}$a•PF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，可得PD+PE+PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根据勾股定理得：BE²+PE²=PB²=BF²+PF²①，CF²+PF²=PC²=CD²+PD²②，AD²+PD²=PA²=AE²+PE²③，再由①+②+③得出BE²+CF²+AD²=BF²+CD²+AE²，整理后即可得出结论．

解答 解：设等边三角形的边长为a，连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，如图所示：

∵S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，BE²+CF²+AD²=BF²+CD²+AE²，
即：$\frac{1}{2}$a•PD+$\frac{1}{2}$a•PE+$\frac{1}{2}$a•PF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴PD+PE+PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
根据勾股定理得：
BE²+PE²=PB²=BF²+PF²①，
CF²+PF²=PC²=CD²+PD²②，
AD²+PD²=PA²=AE²+PE²③，
①+②+③得：BE²+CF²+AD²=BF²+CD²+AE²，
∴BE²+CF²+AD²=（a-CF）²+（a-AD）²+（a-BE）²=（a²-2CF•a+CF²）+（a²-2AD•a+AD²）+（a²-2BE•a+BE²）
整理得：2a（AD+BE+CF）=3a²
∴AD+BE+CF=$\frac{3}{2}$a，
可得：$\frac{PD+PE+PF}{BD+CE+AF}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{3}{2}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法以及勾股定理的运用；本题综合性强，难度很大，有利于培养学生钻研和探索问题的精神．