Question

20．已知方程x²-5x+3=0的两个解为x₁，x₂，计算下列各式的值（不解方程）．
（1）3x₁+3x₂；
（2）（2x₁+1）（2x₂+1）；
（3）x₁²+x₂²；
（4）（x₁-x₂）²．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=5，x₁x₂=3，再利用代数式的变形用x₁+x₂与x₁x₂分别表示3x₁+3x₂、（2x₁+1）（2x₂+1）、x₁²+x₂²、（x₁-x₂）²，然后利用整体代入的方法分别计算即可．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=5，x₁x₂=3，
（1）3x₁+3x₂=3（x₁+x₂）=3×5=15；
（2）（2x₁+1）（2x₂+1）=4x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=4×3+2×5+1=23；
（3）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5²-2×3=19；
（4）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=5²-4×3=13．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了代数式的变形能力．