Question

【题目】如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：①；②连接，，则为直角三角形；③；④若，，则的长为，其中正确结论的个数是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据正方形的性质及HL定理求得Rt△AEB≌Rt△AEG，Rt△AFD≌Rt△AFG，从而求得∠EAB=∠EAG，∠FAD=∠FAG，然后求得2∠EAG+2∠FAG=90°，从而得到，由此判断①；

将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连接MH，MG，NG，由旋转的性质根据结合SAS定理求得△AHM≌△ANM，得到MN=MH，结合正方形和旋转的性质求得∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，从而可得MH2=HB2+BM2，然后根据SAS定理求得△ABM≌△AGM，△AND≌△AANG，从而得到BM=GM，DN=GN，从而求得MN2=MG2+NG2，由此判断②；

由垂直可得∠AEG =90°-∠EAG，然后结合①中已证∠EAG+∠FAG=∠EAG+∠FAD=45°，可得∠ANM=90°-∠EAG，由此得到∠AEG =∠ANM，然后根据AA定理求得三角形形式，由此判断③；

旋转△ABE到△ADH，由旋转性质和SAS定理可得得△ABE≌△ADH，△AEF≌△AHF，设CF=a，在Rt△CEF中，根据勾股定理列方程求a，从而求得正方形的边长，设MN=x，结合②中的结论列方程求x的值，从而判断④．

解：如图中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，

∵AG⊥EF，

∴∠AGE=∠ABC=90°，

在Rt△AEB和Rt△AEG中， ，

∴Rt△AEB≌Rt△AEG，

∴∠EAB=∠EAG，

同理可证Rt△AFD≌Rt△AFG，

∴∠FAD=∠FAG，

∴2∠EAG+2∠FAG=90°，

∴∠EAG+∠FAG=45°，

∴∠EAF=45°，故①正确；

如图②，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连接MH，MG，NG

由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，

∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，

∴△AHM≌△ANM，

∴MN=MH

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠ABD=45°．

由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，

∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，

∴MH2=HB2+BM2，

∴MN2=MB2+ND2．

又∵AB=AG，∠EAB=∠EAG，AM=AM

∴△ABM≌△AGM

∴BM=GM

同理可证：△AND≌△AANG

∴DN=GN

∴MN2=MG2+NG2

即为直角三角形，故②正确；

∵AG⊥EF

∴∠AEG =90°-∠EAG

又∵∠ANM=∠BDA+∠DAF=45°+∠DAF

由①可知：∠EAG+∠FAG=∠EAG+∠FAD=45°

∴∠ANM=90°-∠EAG

∴∠AEG =∠ANM

又∵

∴，故③正确；

如图3中，

旋转△ABE到△ADH，△ABE≌△ADH

∴DH=BE=2，

同理②中可证：△AEF≌△AHF，

∴FH=EF，设CF=a

∴CD=CF+DF=a+3，EF=FH=DF+DH=5，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD=a+3

∴CE=BC-BE=a+3-2=a+1，

在Rt△CEF中，根据勾股定理得，（a+1）2+32=25

∴a=3或a=-5（舍），

∴CF=3，

∴CD=6，

∴正方形的边长为6；

由正方形ABCD的边长为6，

∴BD=CD=6，

由①可知△MAN=45°，

∵AB=AD，∠BAD=90°，

由②得BM2+DN2=MN2，

设MN=x，

∵BD=6，BM=，

∴DN=

∴

解得x=，

∴MN=，故④正确

故选：A．