Question

学习了函数的知识后，数学活动小组到文具店调研一种进价为每支2元的活动笔的销售情况。调查后发现，每支定价3元，每天能卖出100支，而且每支定价每下降0.1元，其销售量将增加10支。但是物价局规定，该活动笔每支的销售利润不能超过其进价的40%。设每支定价x元，每天的销售利润为y元。
（1）求每天的销售利润为y与每支定价x之间的函数关系式；
（2）如果要实现每天75元的销售利润，那么每支定价应为多少元？
（3）当每支定价为多少元时，可以使这种笔每天的销售利润最大？

Answer 1

（1）y=﹣100x²+600x﹣800；（2）2.5；（3）2.8.

解析试题分析：（1）根据题意可求出y与每支定价x之间的函数关系式；
（2）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每下降0.1元，其销售量就增加10支，列出等式求得x的值即可；
（3）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过其进价的40%的范围内求得利润的最大值．
试题解析：（1）（100+），
由题意得，y=（x﹣2）（100+）
=﹣100x²+600x﹣800
（2）当y=75时，
﹣100（x﹣3）²+100=75，
解得：x=2.5或x=3.5，
∵售价不能超过进价的40%，
∴x≤2×（1+40%），
即x≤2.8，
故x=2.5，
当定价为2.5元时，能实现每天75元的销售利润；       6分
（3）由（1）得y=﹣100（x﹣3）²+100，
∵﹣100＜0，
∴函数图象开口向下，且对称轴为x=3，当x＜3时，y随x的增大而增大
∵x≤2.8，
故当x=2.8时函数能取最大值，
考点: 二次函数的应用.