Question

3．如图，抛物线y=-x²+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．
（1）求点A，M的坐标；
（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当BD=1时，求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．

Answer 1

分析 （1）代入y=0求出x值，即可得出点A的坐标；利用配方法将抛物线变形为顶点式，由此即可得出顶点M的坐标；
（2）设BD=a（a＞0），由OE∥CD可得出△EOB∽△DCB，由此可得出$\frac{BE}{BD}=\frac{BO}{BC}$，根据点B、C点的坐标即可得出BE的长度，将其代入抛物线解析式中求出x-3的值，进而可得出EF的长度，再根据OE∥CD、EF∥x轴，即可得出四边形OCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出EF=OC，由此可得出关于a的方程，解方程即可得出a的值；
（3）根据（2）结合BD=1即可得出BE的长度，将其代入抛物线解析式中即可求出点F的坐标，根据点M、F的坐标利用待定系数法即可求出直线MF的解析式，代入点A的横坐标求出y值，通过比较即可得出点A不在直线MF上．

解答 解：（1）当y=0时，有-x²+6x=-x（x-6）=0，
解得：x₁=0，x₂=6，
∴点A的坐标为（6，0）；
∵y=-x²+6x=-（x-3）²+9，
∴点M的坐标为（3，9）．
（2）设BD=a（a＞0），
∵OE∥CD，
∴∠EOB=∠DCB，
∴△EOB∽△DCB，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{BO}{BC}$．
∵M（3，9），MB⊥x轴于点B，
∴B（3，0），
∴BO=3．
∵C（2，0），
∴CO=2，BC=BO-CO=1，
∴BE=3BD=3a．
当y=3a时，有3a=-（x-3）²+9，
∴EF=x-3=$\sqrt{9-3a}$．
∵OE∥CD，EF∥x轴，
∴四边形OCFE为平行四边形，
∴EF=CO=$\sqrt{9-3a}$=2，
解得：a=$\frac{5}{3}$．
∴当BD为$\frac{5}{3}$时，点F恰好落在该抛物线上．
（3）∵BE=3BD，BD=1，
∴BE=3，
当y=3时，有3=-x²+6x，
解得：x=3±$\sqrt{6}$，
∴点F的坐标为（3+$\sqrt{6}$，3）．
设直线MF的解析式为y=kx+b，
将点M（3，9）、F（3+$\sqrt{6}$，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{9=3k+b}\\{3=（3+\sqrt{6}）k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{6}}\\{b=9+3\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
∴直线MF的解析式为y=-$\sqrt{6}$x+9+3$\sqrt{6}$．
当x=6时，y=-6$\sqrt{6}$+9+3$\sqrt{6}$=9-3$\sqrt{6}$＞0，
∴点A不在直线MF：y=-$\sqrt{6}$x+9+3$\sqrt{6}$上．

点评 本题考查了相似三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）找出关于a的方程；（3）利用待定系数法求出直线MF的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出对应边的比是关键．