Question

【题目】已知AM是△ABC的中线，点D在线段AM上[点D不与点A重合），过点D作DF∥AB交AC边于点F，过点C作CE∥AM交DF的延长线于点E，连接AE．

（1）如图1，当点D与点M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）如图2，当点D不与点M重合时，过点M作MG∥DE交EC于点G，连接BD、AG在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）图中所有的平行四边形为平行四边形ABMG，平行四边形AMCG，平行四边形DEGM，平行四边形ABDE.

【解析】

（1）由平行线的性质得出∠EDC=∠ABD，∠ECD=∠ADB，由中线性质得出BD=DC，证明△ABD≌△EDC，得出AB=ED，即可得出结论；
（2）同（1）得：四边形ABMG是平行四边形，得出AG∥BC，AB=MG，由CE∥AM，得出四边形AMCG是平行四边形，由MG∥DE，CE∥AM，得出四边形DEGM是平行四边形，得出DE=MG，证出AB=DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形．

解：（1）证明：∵DF∥AB，CE∥AM，

∴∠EDC＝∠ABD，∠ECD＝∠ADB，

∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，

∴BD＝DC，

在△ABD和△EDC中，

∴△ABD≌△EDC（ASA），

∴AB＝ED，

∵AB∥ED，

∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）图中所有的平行四边形为平行四边形ABMG，平行四边形AMCG，平行四边形DEGM，平行四边形ABDE；理由如下：

同（1）得：四边形ABMG是平行四边形，

∴AG∥BC，AB＝MG，

∵CE∥AM，

∴四边形AMCG是平行四边形，

∵MG∥DE，CE∥AM，

∴四边形DEGM是平行四边形，

∴DE＝MG，

∴AB＝DE，

又∵DF∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形．