Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠A、∠B均为锐角．
（1）当∠A=∠B时，则CD与AB的位置关系是CD∥AB，CD＜AB；
（2）当∠A＞∠B时，（1）中CD与AB的大小关系是否还成立，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）如图1，需要根据题意画出图，然后做DE平行于BC，推出∠B=∠AED，结合题意∠A=∠AED，推出四边形CBED为平行四边形，继而推出DC平行且等于BE，由于BE小于AB，继而推出（1）的结论；
（2）根据要求证的结论，可以通过作辅助线的形式把DC，AB等有关的线段引入到同一个三角形中，再通过三角形的三遍关系论证结论是否成立．如图2，分别过点D、B作BC、CD的平行线，两线交于F点，作∠ADF的平分线交AB于G点，连接GF，推出四边形BCDF为平行四边形，可推出BC=DF=AD，继而推出△ADG≌△FDG，可得出AG=FG，CD=FB，那么FG+BG＞BF?AG+BG＞DC?DC＜AB．

解答：解：（1）如图1，作DE平行于BC交AB于点E，
∴∠B=∠AED，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠AED，
∴AD=DE，
∵AD=CB，
∴DE=CB，
∵DE∥BC，
∴四边形CBED为平行四边形，
∴DC平行且等于EB，
∵EB＜AB，
∴CD∥AB，CD＜AB；

（2）CD＜AB还成立
证明：如图2，分别过点D、B作BC、CD的平行线，
两线交于F点，作∠ADF的平分线交AB于G点，连接GF．
∴四边形DCBF为平行四边形
∴FD=BC，DC=FB
∵AD=BC
∴AD=FD
∴∠ADG=∠FDG．
在△ADG和△FDG中

AD=FD ∠ADG=∠FDG DG=DG

，
∴△ADG≌△FDG，
∴AG=FG，
∵在△BFG中，FG+BG＞BF，
∴AG+BG＞DC，
∴DC＜AB．

点评：本题主要考查了平行四边形判定定理，平行四边形性质，三角形三边关系，全等三角形的性质及判定定理的综合应用．