Question

12．阅读材料：解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0过程：
设x²-1=y，则原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²-1=1，解得x=±$\sqrt{2}$；当y=4时，x²-1=4，解得x=±$\sqrt{5}$．
故原方程的解为x₁=$\sqrt{2}，\;\;{x_2}=-\sqrt{2}，\;\;{x_3}=\sqrt{5}，\;\;{x_4}=-\sqrt{5}$．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
解答下列问题：
（1）利用换元法解方程：（x²+x）²+2（x²+x）-8=0；
（2）Rt△ABC的三边是a，b，c，其中斜边c=4，两直角边a，b满足（a+b）²-7（a+b）+10=0，求Rt△ABC的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）先设y=x²+x，则原方程变形为y²+2y-8=0，运用因式分解法解得y₁=-4，y₂=2，再把y=-4和2分别代入y=x²+x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；
（2）首先设x=a+b，求得方程x²-7x+10=0的解，得出a+b的数值，根据勾股定理可得a²+b²=c²，再利用完全平方公式整理得到ab，然后根据三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）设y=x²+x，
原方程变形为y²+2y-8=0，
（y+4）（y-2）=0，
解得y₁=-4，y₂=2，
当y=-4时，x²+x=-4，x²+x+4=0，△=1-4×4＜0，此方程无实数解；
当y=2时，x²+x=2，x²+x-2=0，解得x₁=-2，x₂=1，
所以原方程的解为x₁=-2，x₂=1．
（2）设x=a+b，则原方程为x²-7x+10=0，
解得：x=2或x=5，
即a+b=2，a+b=5，由斜边c=4，舍去a+b=2，
Rt△ABC的周长为4+5=9；
由勾股定理得a²+b²=4²，
则（a+b）²-2ab=16
解得：ab=$\frac{9}{2}$，
因此Rt△ABC的面积=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理的运用．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．