Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．D、E分别是边AB、AC上的点，且AD=AE=1，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
（1）当∠B=30°，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
﹙2﹚若CE=2，BD=BC，求tan∠BPD的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易求得∠AED=60°，∠PAE=30°，即可求得EP=AE，易求得∠EPC=30°，根据30°角所对直角边是斜边一半性质即可解题；
（2）作AF⊥DE，设BD=BC=x，根据勾股定理可求得x的值，即可求得cos∠BAC的值，根据余弦定理可以求得DE的长，再根据等腰三角形底边三线合一性质即可求得tan∠EAF的值，易证△AEF∽△PEC，可得∠BPD=∠EAF，即可解题．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴∠AED=60°
∵△AEP∽△BDP，∴∠PAE=30°，
∵∠AED=∠PAE+∠APE，
∴∠APE=∠PAE=30°，
∴EP=AE=1，
∵∠PEC=∠AED=60°，∠ACP=90°，
∴∠EPC=30°，
∴CE=

1

2

PE=

1

2

；
（2）作AF⊥DE，

设BD=BC=x，
∵AB²=AC²+BC²，
∴（x+1）²=3²+x²，
解得：x=4，
∴cos∠BAC=

3

5

，
∵AD²+AE²-2AD•AE•cos∠BAC=DE²，
∴DE=

2 5

5

，
∴EF=DF=

5

5

，
∵AE²=AF²+EF²，
∴AF=

2 5

5

，
∴tan∠EAF=

1

2

，
∵∠AFE=∠PCE=90°，∠AEF=∠PEC，
∴△AEF∽△PEC，
∴∠BPD=∠EAF，
∴tan∠BPD=

1

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△AEF∽△PEC是解题的关键．