已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．(1)求C1的顶点坐标,(2)在如图所示的直角坐标系中画出C1的大致图象．(3)将C1向下平移若干个单位后.得抛物线C2.如果C2与x轴的一个交点为A.求C2的函数关系式.并求C2与x轴的另一个交点坐标,(4)若P(n.y1).Q(1.y2)是C1上的两点.且y1＞y2.求实数n的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点．
（1）求C₁的顶点坐标；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出C₁的大致图象．
（3）将C₁向下平移若干个单位后，得抛物线C₂，如果C₂与x轴的一个交点为A（-3，0），求C₂的函数关系式，并求C₂与x轴的另一个交点坐标；
（4）若P（n，y₁），Q（1，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂，求实数n的取值范围．

分析：（1）先把二次函数的解析式化为顶点式的形式，求出其对称轴方程，再根据抛物线与x轴只有一个交点即可得出其顶点坐标；
（2）在直角坐标系内画出此函数的图象即可；
（3）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，再把A（-3，0）代入可求出k的值，进而得出C₂的函数关系式，再抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知它与x轴的另一个交点坐标；
（4）把x=1代入函数解析式求出y₂的值，根据函数图象即可得出结论．

解答：

解：（1）∵二次函数y=x²+2x+m可化为y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，
∴对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，即m=1，
∴C₁的顶点坐标为（-1，0）；

（2）∵C₁的顶点坐标为（-1，0）
∴此函数的解析式为y=（x+1）²，
其图象如图所示．

（3）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，
∵C₂与x轴的一个交点为A（-3，0）
∴把A（-3，0）代入得（-3+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²-4．
∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．

（4）∵Q（1，y₂）是C₁上的点，
∴当x=1时，y₂=4，即Q（1，4），
∴n＞1或n＜-3时，y₁＞y₂．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到二次函数的几何变换、二次函数的图象及二次函数与x轴的交点问题等知识，难度适中．

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