△ABC中AB=AC=5,BC=6,点P在边AB上,⊙O与AB、AC都相切,且P为切点,线段AO与⊙O交于H,过H作⊙O的切线交AB、AC于D、E,设AP=x,△ADE的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)⊙O的内接正方形的面积能否比△ADE的面积大15?大30?为什么?
解:(1)延长AO交BC于F,则AF⊥BC,BF=FC=
BC=3,根据勾股定理得出AF=4,
令∠BAF=∠1,则sin∠1=BF:AB=3:5,tan∠1=BF:AF=3:4
在△ADH中,∠AHD=90°
∵sin∠1=DH:AD=3:5
∴AD=
DH
又∵DH、DP与⊙O分别相切于H、P,
∴DH=DP
∵AD+DP=AP
∴
DH+DH=x
∴DH=
x
∴AH=DH,tan∠1=
x
∴y=
DE•AH=DH•AH=
x
2;
(2)在△AOP中,∠APO=90°,
∴tan∠1=OP:AP=OP:x=3:4,
∴OP=
x,
∴⊙O的半径为
x,
∴⊙O的内接正方形的面积为4×
×(
x)×(
x)=
x
2,
如果⊙O的内接正方形的面积比△ADE的面积大15,则
x
2-
x
2=15,解得x=4,
∵4<5,∴⊙O的内接正方形的面积能比△ADE的面积大15;
如果⊙O的内接正方形的面积比△ADE的面积大30,则
x
2-
x
2=30,解得x=4
,
∵4
>5,∴⊙O的内接正方形的面积不能比△ADE的面积大30.
分析:(1)根据三角形的面积公式,知y=
DE•AH,求y与x的函数关系式,关键是用含x的代数式分别表示DE与AH;
(2)首先用含x的代数式表示OP,然后表示出⊙O的内接正方形的面积,最后根据条件列出方程,求出方程的解,由AB=AC=5与x的值比较,决定取舍.
点评:此题综合考查函数、方程与圆的切线,三角函数等知识.
此题是一个综合题,难度较大,有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质.