Question

如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：
（1）当t为何值时，∠ANM=45°？
（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；
（3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？

Answer 1

分析：（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根据（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=18，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变；
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为AN：AB=AM：BC、AN：BC=AM：AB两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案．

解答：解：（1）对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，
当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t，
解得：t=3（s），
所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形．

（2）在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，
∴S_△NAC=

1

2

NA•DC=

1

2

（9-t）•18=81-9t．
在△AMC中，AM=2t，BC=9，
∴S_△AMC=

1

2

AM•BC=

1

2

•2t•9=9t．
∴S_{四边形NAMC}=S_△NAC+S_△AMC=81（cm²）．
由计算结果发现：
在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）

（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），
即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；
②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），
即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；
所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题比较复杂，考查了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题．