Question

【题目】是直径，分别是上下半圆上一点，且弧弧，连接，连接交于，

（1）如图(1)求证：；

（2）如图(2)是弧一点，点分别是弧和弧的中点，连接，连接分别交，于两点，求证：

（3）如图(3)在(2)问条件下，交于，交于，过点作交于，连接，若的面积等于，求线段的长度

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由垂径定理即可证明；

（2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；

（3）由∠MPC=∠NQD可得：∠BGL=∠BLG，BL=BG，作BR⊥MN，GT⊥AF，HK⊥AB，证明：GH平分∠AGT，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT三边关系，再求出HK与GH，OS⊥MN，再利用相似三角形性质求出OS，利用勾股定理求MN即可．

解：证明：∵，AB为直径，

∴AB⊥CD

∴∠AEC=90°；

连接，

∵点M是弧AC的中点，点N是弧DF的中点，

∴，，

∴，

∵OM=ON，

∴，

∵，

；

如图3，过G作GT⊥AF于T，过H作HK⊥AB于K，过B作BR⊥MN于R，过O作OS⊥MN于S，连接OM，设BG=m，

∵△ABH的面积等于8，AG=6

∴HK=，

∵，

∴∠BAC=∠BFD，由（2）得∠MPC=∠NQD

∴∠AGM=∠FLN

∴∠BGL=∠BLG

∴BL=BG，

∵BR⊥MN

∴∠ABR=∠FBR

∵GH⊥MN

∴GH∥BR

∴∠AGH=∠ABR

∵AB是直径，GT⊥AF

∴∠AFB=∠ATG=90°

∴GT∥BF，

又∵GH∥BR

∴∠TGH=∠FBR

∴∠AGH=∠TGH，

又∵HK⊥AG，HT⊥GT，

∴HT=HK=，

∵FH=BG=m，

∴FT=，

∵GT∥BF，

∴，

∴，，，

∵，

代入解得：m=4；

∴AB=10，OM=5，GK=，HK=，OG=1
∴GH=，

∵OS⊥MN

∴∠OSG=∠GKH=90°，GH∥OS

∴∠HGK=∠GOS

∴△HGK∽△GOS，

∴，

∴，

∴，

∴；