Question

如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O₁的直径，半圆O₂过C点且与半圆O₁相切，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A、

  7-π

  36

  a2
• B、

  5-π

  36

  a2
• C、

  6

  36

  a2
• D、

  5

  36

  a2

Answer 1

分析：利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求阴影部分的面积．

解答：解：连接O₁O₂，设圆O₂的半径为x．

∵O₁O₂²-AO₁²=AO₂²，
∴（

a

2

+x）²-（

a

2

）²=（a-x）²，
解得：x=

1

3

a．
设⊙O₁交BC于D，⊙O₂交BC于E．
∴CE=PE=

2

x=

2

3

a，BC=

2

AB，CD=

2

2

AB=

2

2

a，
∴S_阴影=S_△ADC-S_△CEP=CD•AD•

1

2

-CE•PE•

1

2

=

2

2

a×

2

2

a×

1

2

-

2 a

3

×

2 a

3

×

1

2

=

5

36

a²．
故选D．

点评：本题的关键是理解经过一定的平移后，阴影部分的面积为直角梯形PEDA的面积．