Question

13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：
（1）AF：FC的值；
（2）EF：BF的值．

Answer 1

分析 （1）延长BE交直线AD于H，如图，先由AD∥BC得到△DEH∽△CEB，则有$\frac{DH}{BC}$=$\frac{DE}{CE}$，易得DH=BC，加上BC=2AD，所以AH=3AD，然后证明△AHF∽△CFB，再利用相似比可计算出AF：FC的值；
（2）由△DEH∽△CEB得到EH：BE=DE：CE=1：1，则BE=EH=$\frac{1}{2}$BH，由△AHF∽△CFB得到FH：BF=AF：FC=3：2；于是可设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，EH=$\frac{5}{2}$a，接着可计算出EF=FH-EH=$\frac{1}{2}$a，然后计算EF：BF的值．

解答 解：（1）延长BE交直线AD于H，如图，
∵AD∥BC，
∴△DEH∽△CEB，
∴$\frac{DH}{BC}$=$\frac{DE}{CE}$，
∵点E为边DC的中点，
∴DE=CE，
∴DH=BC，
而BC=2AD，
∴AH=3AD，
∵AH∥BC，
∴△AHF∽△CFB，
∴AF：FC=AH：BC=3：2；
（2）∵△DEH∽△CEB，
∴EH：BE=DE：CE=1：1，
∴BE=EH=$\frac{1}{2}$BH，
∵△AHF∽△CFB，
∴FH：BF=AF：FC=3：2；
设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，
∴EH=$\frac{5}{2}$a，
∴EF=FH-EH=3a-$\frac{5}{2}$a=$\frac{1}{2}$a，
∴EF：BF=$\frac{1}{2}$a：2a=1：4．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．