Question

一块三角形废料如图所示，∠C=90°，AC=8，BC=6．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．当AE为多长时使剪出的矩形CDEF面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：首先利用勾股定理求出AB的长，再根据四边形CDEF是矩形得到EF∥AC从而得到△BEF∽△BAC，设AE=x，则BE=10-x．利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有关x的二次函数，然后求二次函数的最值即可．

解答：解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥AC．
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．
设AE=x，则BE=10-x，
∴

EF

8

=

10-x

10

，
∴EF=

4

5

（10-x），
同理：DE=

3

5

x，
矩形CDEF的面积S=DE•EF=

3

5

x•

4

5

（10-x）（0＜x＜10）
∴当x=5时，S有最大值为12．

点评：本题考查了相似三角形的应用及二次函数的应用，解题的关键是从几何问题中整理出二次函数模型，并利用二次函数的知识求最值