Question

18．在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，将线段DC绕点D旋转，得到线段DE，连接AE，CE；
（1）如图①，判断△ACE的形状，并证明；
（2）如图②，连接BE，当BE平分∠ABC时，求证：ED⊥AC；
（3）在（2）的条牛下，H为△ACE内一点，且满足∠AHC=135°，过E作EM⊥CH，若EM=3，求CH的长度．

Answer 1

分析 （1）有旋转得出DC=DE，又由中点得出DA=DC，从而得出DE=$\frac{1}{2}$AC，即可；
（2）先判断出点A，B，C，E四点共圆，用同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可得出∠ADE=∠CDE=90°，
（3）先判断出∠CAN=∠ECM，从而得出△ACN∽△CEM，求出CN，再用等腰直角三角形的性质得出CH．

解答 解：（1）∵将线段DC绕点D旋转，得到线段DE，
∴DC=DE，
∵D为AC中点，
∴DA=DC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴△ACE是直角三角形，
（2）如图1，以AC为直径作圆，

由（1）有，△ACE是直角三角形，
∴∠AEC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠AEC=180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∵点D是AC中点，
∴点D是圆心，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∴$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，
∴∠ADE=∠CDE=90°，
∴ED⊥AC，
（3）如图2，延长AH交圆与N，连接CN，

由（2）∠ADE=90°，
∴∠CAE=45°，
∴∠CAN+∠EAN=45°，
∵∠AHC=135°，
∴∠CHN=45°，
∵AC为⊙D的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NCM=45°，
∴∠MCE+∠NCE=45°，
∵∠EAN=∠ECN，
∴∠CAN=∠ECM，
∵∠ANC=∠CME，
∴△ACN∽△CEM，
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{CN}{EM}$，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∵AC=2CD，EM=3，
∴$\frac{2CD}{\sqrt{2}CD}=\frac{CN}{3}$，
∴CN=3$\sqrt{2}$，
∵△CNH为等腰直角三角形，
∴CH=$\sqrt{2}$CN=6．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，四点共圆的判定，解本题的关键是判断出点A，B，C，E四点共圆，判断△ACN∽△CEM是解本题的难点．