在△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.直线MN经过点C.过点A作AD⊥MN于D.作BE⊥MN于E,(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时.求证:DE=AD+BE,(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时.(1)中的结论是否仍然成立?若成立.请给出证明.若不成立.说明理由,(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时.请直接写出DE.AD.BE的数量关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，过点A作AD⊥MN于D，作BE⊥MN于E；

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出DE、AD、BE的数量关系：DE=BE-AD．

分析（1）由条件可证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质和线段的和差可证得结论；
（2）同（1）可证得△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质可求得DE=AD-BE；
（3）同理可证△ACD≌△CBE，则可得出答案．

解答（1）证明：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CD+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）不成立，理由如下：
同理可证得△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE；
（3）同理可证得△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CD-CE，
∴DE=BE-AD，
故答案为：DE=BE-AD．

点评本题为三角形的综合应用，由条件证得△ADC≌△CEB是解题的关键，注意全等三角形的判定和性质的应用．本题考查知识点较多，但难度不大．

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