Question

【题目】如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．连接BD．

（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由．

（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；证明见解析；（2）△BEF为正三角形．理由见解析；（3）此时BD垂直平分EF．

【解析】

（1）可根据题意判断出△BAD≌△BCD（SSS）

△BAE≌△BD（SAS）△BDE≌△BCF（SAS），任选一组证明即可.

（2）首先由（1）知△BDE≌△BCF，得到BE＝BF，再根据∠DBE＝∠CB，∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60，得到一个角为60°即可证明为等边三角形.

（3）设BE＝BF＝EF＝x，由S△BEF＝，即面积根x值有关，当x最小，即BE垂直于AD时面积最小.

（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；

证明：△BDE≌△BCF．

在△BDE和△BCF中，

，

故△BDE≌△BCF．

（2）△BEF为正三角形．

理由：∵△BDE≌△BCF，

∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，

∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，

∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，

∴△BEF为等边三角形；

（3）设BE＝BF＝EF＝x，

则S△BEF＝xxsin60°＝x2，

当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝ ，此时△BEF的面积最小，

此时点E、F分别位于AD、CD的中点，

故此时BD垂直平分EF．