Question

若等腰梯形ABCD的上，下底之和为2，并且两条对角线所交的锐角为60°，则等腰梯形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

分析：两条对角线所交的角有两组，一组是上下的，一组是左右的，题中没有明确指出哪组角，所以应该分两种情况进行分析．

解答：解：分两种情况考虑：过O作OE⊥AB，反向延长交CD于F．
（i）当∠AOB=∠COD=60°
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴OA=OB，OC=OD
∵∠AOB=∠COD=60°
∴△OAB，△OCD均是等边三角形
设AB=x，则CD=2-x
∴OE=

3

2

x，OF=

3

2

（2-x）
∴EF=

3

∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•EF=

1

2

×2×

3

=

3

；

（ii）当∠AOD=∠BOC=60°
∴∠AOB=∠COD=120°
∴∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=30°
设AB=x，则CD=2-x
∴OE=

3

6

x，OF=

3

6

（2-x）
∴EF=OE+OF=

3

3

∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•EF=

1

2

×2×

3

3

=

3

3

综上，等腰梯形ABCD的面积为

3

或

3

3

．

点评：此题主要考查学生对等腰梯形的性质及等腰三角形的性质等知识点的综合运用．