Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，过A作AD⊥AB交BC于点D，过B作BE⊥AC，交CA延长线于点E，过D作DF⊥AC，垂足为F．若EF=3$\sqrt{3}$．BC=6$\sqrt{2}$．则tan∠C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 作CG⊥AD，交AD延长线于点G，证△BAE≌△ACG得AE=CG、证△CDF≌△CDG得CF=CG，从而知AC=AF+CF=AF+CG=AF+AE=EF=3$\sqrt{3}$，作AH⊥BC知CH=3$\sqrt{2}$，利用勾股定理求得AH的长，即可得答案．

解答 解：如图，作CG⊥AD，交AD延长线于点G，

∵AD⊥AB，
∴∠BAD=∠CGD=90°，
∵∠ADB=∠GDC，AB=AC，
∴∠ABD=∠GCD=∠ACB，
则∠BAE=∠ACG=2∠ACB，
在△BAE和△ACG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠AGC=90°}\\{∠BAE=∠ACG}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACG（AAS），
∴AE=CG，
在△CDF和△CDG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠CGD}\\{∠FCD=∠GCD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CF=CG，
则AC=AF+CF=AF+CG=AF+AE=EF=3$\sqrt{3}$，
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ACH中，AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∴tanC=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，添加辅助线利用三角形的全等将EF的长转化为AC的长是解题的关键．