Question

某同学在计算3（4+1）（4²+1）时，把3写成4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．很受启发，后来在求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）的值时，又改造此法，将乘积式前面乘以1，且把1写为2-1得（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2⁴-1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）=（2²⁰⁴⁸-1）（2²⁰⁴⁸+1）=2⁴⁰⁹⁶-1
回答下列问题：
（1）请借鉴该同学的经验，计算：；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：．

Answer 1

解：（1）原式=2（1-）（1+）…（1+）+，
=2（1-）+，
=2-+，
=2；

（2），
=（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+），
=××××…××，
=×，
=．
分析：（1）在前面乘一个2×（1-），然后再连续利用平方差公式计算；
（2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据乘法结合率和有理数的乘法计算即可．
点评：本题考查了平方差公式的运用，（1）添加2×（1-）是解题的关键，（2）利用平方差公式拆项后前一项与后一项出现倒数是解题的关键，计算中有时利用公式求解运算更加简便．