Question

2．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：∠C=2∠DBE．
（3）若EA=AO=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）连接OD，由BC为圆O的切线，利用切线的性质得到∠ABC为直角，由CD=CB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，进而得到∠ODC=∠ABC，确定出∠ODC为直角，即可得证；
（2）根据图形，利用外角性质及等边对等角得到∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，由（1）得：OD⊥EC于点D，可得∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，等量代换即可得证；
（3）作OF⊥DB于点F，根据S_阴影=S_扇形OAD+S_△BOD即可求解．

解答 （1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ODB+∠CDB=∠OBD+∠CBD=∠ABC=90°，即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵OD=OB，∴∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，
∵OD⊥EC，∴∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，
∴∠C=∠DOE=2∠DBE；
（3）解：如图，作OF⊥DB于点F，连接AD，


由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜边的中线，
∴AD=AO=OD，∴∠DOA=60°，∴∠OBD=30°，
又∵OB=AO=2，OF⊥BD，∴OF=1，BF=$\sqrt{3}$，
∴BD=2BF=2$\sqrt{3}$，∠AOD=60°，
∴S_阴影=S_扇形OAD+S_△BOD=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，以及扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．