Question

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）直接写出点B的坐标（

 

，

 

）．
（2）当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且

BD

AD

=

3

2

，求点P的坐标．
（3）当点P在x轴上运动时，能使得△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）作BQ⊥x轴于Q，依题意可得OQ=4，AQ=3，已知AB=5，根据勾股定理求出QB即可解答．
（2）利用相似三角形的判定证明△OCP∽△APD，根据等比性质可求出AP，OP的值．
（3）分点P在x正半轴上与x负半轴上上两种情况讨论，结合等腰三角形的性质，可得OP、OC的长，进而可得答案；

解答：解：（1）作BQ⊥x轴于Q．
∵四边形OABC是等腰梯形，
在Rt△BQA中，BA=4，
AQ=（7-1）÷2=3
OQ=7-3=4
BQ=

52-32

=4
∴点B的坐标为（4，4）

（2）∵∠CPA=∠OCP+∠COP，
即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP，
而∠CPD=∠OAB，
∴∠OCP=∠APD．（1分）
∵∠COP=∠PAD，（1分）
∴△OCP∽△APD．（1分）
∴

OP

AD

=

OC

AP

．
∴OP•AP=OC•AD．（1分）
∵

BD

AD

=

3

2

，∴BD=

3

5

AB=3，
AD=AB-BD=2．
∵AP=OA-OP=7-OP，
∴OP（7-OP）=5×2，（1分）
解得：OP=2或5．
∴点P坐标为（2，0）或（5，0）．（2分）

（3）①当OC=OP时，若点P在x正半轴上，
∵△OCP为等腰三角形，
∴OP=OC=5．
∴P（5，0）．
若点P在x负半轴上，
∴OP=OC=4．
∴P（-5，0）
∴点P的坐标为（5，0）或（-5，0）．
②当OC=CP时，由题意可得P的横坐标为：2×3=6
∴P点坐标为（6，0）
③当OP=PC时
点p的坐标为p（

25

6

，0）．
综上可得点P的坐标为（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（

25

6

，0）．

点评：本题综合考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，等腰梯形性质的运用，难度中上．本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错的题．