Question

已知关于x的一元二次方程x²-2mx-3m²+8m-4=0．
（1）求证：当m＞2时，原方程永远有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b²-4ac的值的符号就可以了．
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于5，另一个大于2，列出不等式组，求出m的取值范围．

解答：解：（1）△=（-2m）²-4（-3m²+8m-4）=4m²+12m²-32m+16=16（m-1）²．（1分）
∵无论m取任何实数，都有16（m-l）²≥0，
∴m取任意实数时，原方程都有两个实数根．（2分）
自然，当m＞2时，原方程也永远有两个实数根．（3分）

（2）解关于x的一元二次方程x²-2mx-3m²+8m-4=0，得
x=

2m± 16(m-1)2

2

=m±2（m-1）
∴x₁=3m-2，x₂=2-m．（4分）
解已知不等式组

3m-2＜5 2-m＞2

或

2-m＜5 3m-2＞2

，（6分）
得m＜0或m＞

4

3

．
即m的取值范围是m＜0或m＞

4

3

．（8分）

点评：本题考查一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式组．