Question

7．如图，∠ACB=90°，AC=BC，点D在BC边上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．给出以下结论：
①△AFG≌△DAC；②CG=CD+FG；③S_△FAB：S_{四边形CBFG}=1：2；④∠ABC=∠ABF
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，可得①②正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S_△FAB=$\frac{1}{2}$FB•FG=$\frac{1}{2}$S_{四边形CBFG}，可得③正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，可得④正确；

解答 解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠C}\\{∠AFG=∠CAD}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，CD=AG，
∴CG=AC+AG=CD+FG，故①②正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S_△FAB=$\frac{1}{2}$FB•FG=$\frac{1}{2}$S_{四边形CBFG}，故③正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，故④正确；
故选：D．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．