【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D.过点D作EF⊥AC,垂足为E,且交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若AB=8,∠A=60°,求BD的长.
【答案】(1)见解析;(2)BD=4.
【解析】
(1)连接OD,AD,根据AB是⊙O的直径可得AD⊥BC,再根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=CD,进一步根据三角形的中位线定理可得OD∥AC,进而推得OD⊥EF,问题即得解决;
(2)根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=30°,再在直角三角形ABD中利用30°的角的性质即可求得结果.
解:(1)证明:连接OD,AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∵OA=OB,
∴OD∥AC,
∵EF⊥AC,
∴OD⊥EF,
∴EF是⊙O的切线;
(2)解:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠BAC=30°,
∴BD=AB==4.
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【题目】已知:如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC,AC且BD=CE,AD、BE相交于点M,
求证:(1)△AME∽△BAE;(2)BD2=AD×DM.
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【题目】直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为.
A. (-3,0) B. (-6,0) C. (-,0) D. (-,0)
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【题目】如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠A=100°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )
A. 55°B. 65°C. 50°D. 45°
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【题目】如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:
①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④.
其中正确结论的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【题目】如图所示,直线y=x+b与双曲线y=(x<0)交于点A(﹣1,﹣5),并分别与x轴、y轴交于点C、B.
(1)求出b、m的值;
(2)点D在x轴的正半轴上,若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似,试求点D的坐标.
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【题目】阅读材料:
“三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆、外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。”(苏科版《数学》九上 2.3确定圆的条件)
问题初探:
(1)三角形的外心到三角形的_____________距离相等
(2)若点O是△ABC的外心,试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系。
(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC。将线段BC绕点B逆时针旋转30°到BD,连接AD、CD。用直尺和圆规在图中作出△BCD的外心O,并求∠ADB的度数。(保留作图痕迹,不写作法。)
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