Question

如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=6，△ABD的周长为24．
（1）求△ABC的周长；
（2）如果AB∥DE，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由DE是AC的垂直平分线，可得AD=CD，又由AE=6，△ABD的周长为24，可求得AC与AB+BC的长，继而求得答案；
（2）由AB∥DE，可得△ABC是直角三角形，然后设AB=x，由勾股定理可得方程：x²+12²=（24-x）²，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE=6，
∴AC=12．
∵△ABD的周长为24，
∴AB+BD+AC=AB+BD+CD=AB+BC=24，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=36；

（2）∵AB∥DE，DE⊥AC，
∴AB⊥AC，
设AB=x，则BC=24-x，
在Rt△ABC中，AB²+AC²=BC²，
∴x²+12²=（24-x）²，
解得：x=9，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=54．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握转化思想、方程思想与数形结合思想的应用．