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15.如图,正方形ABCD边长为1,G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.
(1)求证:BH⊥DE;
(2)当BH垂直平分DE时,求CG的长度?请说明理由.(提示:要有辅助线哟?)

分析 (1)先由四边形ABCD和CGFE是正方形求证△DCE≌△BCG,再得出BG⊥DE.
(2)连接BD,解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE,从而找到BD=$\sqrt{2}$,CE=BE-BC=$\sqrt{2}$-1,根据全等三角形的性质求解即可.

解答 (1)证明:
∵正方形ABCD,
∴∠BCD=90°,BC=CD,
同理:CG=CE,
∠GCE=90°,
∴∠BCD=∠GCE=90°,
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCD=∠GCE=90°}\\{CG=CE}\end{array}\right.$,
∴△BCG≌△DCE,
∴∠GBC=∠CDE,
在Rt△DCE中∠CDE+∠CED=90°,
∴∠GBC+∠BEH=90°,
∴∠BHE=180°-(∠GBC+∠BHE)=90°,
∴BH⊥DE;
(2)当CG=$\sqrt{2}$-1时BH垂直平分DE,
理由如下:
若BH垂直平分DE,连接BD,
∴BD=BE,
∵BD=$\sqrt{2}$
∴CG=CE=BE-BC=$\sqrt{2}$-1.

点评 此题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.特殊图形的特殊性质要熟练掌握.

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