Question

20．如图，△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，点F是AB中点，作FH⊥BC于点H，FH与AD的延长线交于点G．若AC=$\sqrt{34}$，tan∠ABC=$\frac{4}{5}$，DE=FH，则HG=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到FH∥AE，根据三角形的中位线的性质得到BH=HE，FH=$\frac{1}{2}$AE，由tan∠ABC=$\frac{4}{5}$，设AE=4k，BE=5k，根据勾股定理得到AE²+CE²=AC²，求得AE=4$\sqrt{2}$，DE=2$\sqrt{2}$，BH=EH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵AD⊥BC，FH⊥BC，
∴FH∥AE，
∵点F是AB中点，
∴AF=BF，
∴BH=HE，FH=$\frac{1}{2}$AE，
∵tan∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴设AE=4k，BE=5k，
∴FH=2k，
∴DE=FH=2k，
∴BD=3k，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD=3k，
∴CE=k，
∵AE²+CE²=AC²，即（4k）²+k²=（$\sqrt{34}$）²，
∴k=$\sqrt{2}$，
∴AE=4$\sqrt{2}$，DE=2$\sqrt{2}$，BH=EH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠DHG=∠AED=90°，∠HDG=∠ADE，
∴△DHG∽△DEA，
∴$\frac{HG}{AE}=\frac{DH}{DE}$，
∴HG=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．